逆数との和・差の値から式の値（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 逆数との和・差の値から式の値（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$a>0$ で $a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3$ のとき，次の式の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a+a^{-1}$
\item[(2)] $a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}$
\item[(3)] $a^2+a^{-2}$
\end{enumerate}
$x=a^{\frac{1}{2}}$ とおくと $x+x^{-1}=3$，$x\cdot x^{-1}=1$ である．
(1) $a+a^{-1}=x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2=9-2=7$
(2) $a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}=x^3+x^{-3}=(x+x^{-1})^3-3(x+x^{-1})=27-9=18$
(3) $a^2+a^{-2}=(a+a^{-1})^2-2=49-2=47$
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