内接正多角形で π を評価する（B）

正十二角形の 1 辺の長さは $2\sin\dfrac{\pi}{12}=2\sin 15^\circ=2\cdot\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$（加法定理による）．周の長さは円周より短いから \[ 12\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}<2\pi \quad\text{すなわち}\quad \pi>3(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \] $\pi>3.1$ を示すには，$\sqrt{6}-\sqrt{2}>\dfrac{3.1}{3}$ を示せばよい．両辺正であるから，2 乗して比べる． \[ (\sqrt{6}-\sqrt{2})^2=8-2\sqrt{12}=8-4\sqrt{3} \] $\sqrt{3}<1.733$ より $8-4\sqrt{3}>8-6.932=1.068$．一方 $\left(\dfrac{3.1}{3}\right)^2=\dfrac{9.61}{9}=1.0677\cdots<1.068$． よって $(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2>\left(\dfrac{3.1}{3}\right)^2$ で $\sqrt{6}-\sqrt{2}>\dfrac{3.1}{3}$，したがって $\pi>3.1$ \hfill 〔証明終〕