内接正多角形で π を評価する（A）

正八角形の 1 辺は，中心角 $\dfrac{\pi}{4}$ の二等辺三角形の底辺であるから，その長さは $2\sin\dfrac{\pi}{8}$（下図）．周の長さは円周 $2\pi$ より短いから \[ 8\cdot 2\sin\frac{\pi}{8}<2\pi \quad\text{すなわち}\quad \pi>8\sin\frac{\pi}{8} \] 半角の公式より $\sin^2\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$ であり，$\sin\dfrac{\pi}{8}>0$ であるから，$\sin\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ で \[ \pi>4\sqrt{2-\sqrt{2}} \] $\sqrt{2}<1.415$ より $2-\sqrt{2}>0.585$．また $0.7625^2=0.58140\cdots<0.585$ であるから $\sqrt{2-\sqrt{2}}>0.7625$．よって \[ \pi>4\times 0.7625=3.05 \] \hfill 〔証明終〕