sin3θ, cos3θ の式とその応用（B）

(1) $\cos 3\theta=\cos(2\theta+\theta)=\cos 2\theta\cos\theta-\sin 2\theta\sin\theta$ \[ =(2\cos^2\theta-1)\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta=2\cos^3\theta-\cos\theta-2(1-\cos^2\theta)\cos\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta \] \hfill 〔証明終〕 (2) $5\theta=180^\circ$ より $2\theta=180^\circ-3\theta$ であるから $\sin 2\theta=\sin 3\theta$． また，加法定理と 2 倍角の公式により \[ \begin{aligned} \sin 3\theta&=\sin(2\theta+\theta)=\sin 2\theta\cos\theta+\cos 2\theta\sin\theta\\ &=2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta \end{aligned} \] であるから \[ 2\sin\theta\cos\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta \] $\sin\theta\neq 0$ で割って $2\cos\theta=3-4\sin^2\theta=3-4(1-\cos^2\theta)$，すなわち \[ 4\cos^2\theta-2\cos\theta-1=0 \] $\cos\theta>0$ より $\cos\theta=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$．よって $\cos 36^\circ=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$