sin3θ, cos3θ の式とその応用（A）

(1) $\sin 3\theta=\sin(2\theta+\theta)=\sin 2\theta\cos\theta+\cos 2\theta\sin\theta$ \[ =2\sin\theta\cos^2\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta=2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-2\sin^3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta \] \hfill 〔証明終〕 (2) $5\theta=90^\circ$ より $2\theta=90^\circ-3\theta$ であるから $\sin 2\theta=\cos 3\theta$． また，加法定理と 2 倍角の公式により \[ \begin{aligned} \cos 3\theta&=\cos(2\theta+\theta)=\cos 2\theta\cos\theta-\sin 2\theta\sin\theta\\ &=(2\cos^2\theta-1)\cos\theta-2(1-\cos^2\theta)\cos\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta \end{aligned} \] であるから，$\sin 2\theta=\cos 3\theta$ より \[ 2\sin\theta\cos\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta \] $\cos\theta\neq 0$ で割って $2\sin\theta=4\cos^2\theta-3=4(1-\sin^2\theta)-3$，すなわち \[ 4\sin^2\theta+2\sin\theta-1=0 \] $0<\sin\theta$ より $\sin\theta=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$．よって $\sin 18^\circ=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$