2倍角・半角の公式で値を求める（B）

(1) $\sin\alpha<0$ より $\sin\alpha=-\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ $\sin 2\alpha=2\cdot\left(-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\dfrac{1}{3}=-\dfrac{4\sqrt{2}}{9}$，\quad $\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1=\dfrac{2}{9}-1=-\dfrac{7}{9}$ $\dfrac{3}{4}\pi<\dfrac{\alpha}{2}<\pi$ であるから $\sin\dfrac{\alpha}{2}>0$，$\cos\dfrac{\alpha}{2}<0$． \[ \sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{3},\qquad \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\frac{1}{3}}{2}=\frac{2}{3} \] よって $\sin\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos\dfrac{\alpha}{2}=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ (2) $\cos^2\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$．$\cos\dfrac{\pi}{8}>0$ より $\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$