原点まわりの点の回転（B）

原点と異なる点 $(a,\ b)$ を $a=r\cos\alpha$，$b=r\sin\alpha$（$r>0$）と表すと，この点を原点のまわりに $\theta$ だけ回転した点の座標は $(r\cos(\alpha+\theta),\ r\sin(\alpha+\theta))$ である．加法定理により \[ r\cos(\alpha+\theta)=a\cos\theta-b\sin\theta,\qquad r\sin(\alpha+\theta)=a\sin\theta+b\cos\theta \] であるから，回転した点は $(a\cos\theta-b\sin\theta,\ a\sin\theta+b\cos\theta)$ である． (1) $\left(2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2},\ 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=(2\sqrt{2},\ 0)$ (2) $\triangle$OAB は正三角形であるから，$\mathrm{OB}=\mathrm{OA}$，$\angle\mathrm{AOB}=\dfrac{\pi}{3}$ である．よって，B は A を原点のまわりに $\pm\dfrac{\pi}{3}$ 回転した点である． $\dfrac{\pi}{3}$ 回転：$\left(2\cdot\dfrac{1}{2}-1\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{2\sqrt{3}+1}{2}\right)$ $-\dfrac{\pi}{3}$ 回転：$\left(2\cdot\dfrac{1}{2}+1\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{1-2\sqrt{3}}{2}\right)$