原点まわりの点の回転（A）

(1) $\mathrm{OP}=r$，動径 OP と $x$ 軸の正の向きのなす角を $\alpha$ とすると，$3=r\cos\alpha$，$1=r\sin\alpha$．Q$(x,\ y)$ とすると，加法定理により \[ x=r\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=r\cos\alpha\cos\frac{\pi}{3}-r\sin\alpha\sin\frac{\pi}{3}=3\cdot\frac{1}{2}-1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2} \] \[ y=r\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=r\sin\alpha\cos\frac{\pi}{3}+r\cos\alpha\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{1+3\sqrt{3}}{2} \] よって Q$\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{1+3\sqrt{3}}{2}\right)$ (2) A が原点に移るように平行移動すると，P は P$'(3,\ 1)$ に移る．P$'$ を原点のまわりに $\dfrac{\pi}{2}$ 回転すると \[ \left(3\cos\frac{\pi}{2}-1\cdot\sin\frac{\pi}{2},\ 3\sin\frac{\pi}{2}+1\cdot\cos\frac{\pi}{2}\right)=(-1,\ 3) \] これを逆に平行移動して R$(-1+1,\ 3+1)=(0,\ 4)$（下図）