tan の加法定理で2直線のなす角（B）

(1) 2 直線 $y=(2+\sqrt{3})x$，$y=x$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角をそれぞれ $\alpha$，$\beta$ とすると，$\tan\alpha=2+\sqrt{3}$，$\tan\beta=1$ であるから \[ \tan(\alpha-\beta)=\frac{(2+\sqrt{3})-1}{1+(2+\sqrt{3})}=\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}=\frac{1}{\sqrt{3}} \] $\tan\alpha>\tan\beta>0$ より $0<\beta<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ であるから，$0<\alpha-\beta<\dfrac{\pi}{2}$ である． よって $\theta=\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{6}$ (2) 直線 $y=\dfrac{1}{2}x$ と $x$ 軸のなす角を $\gamma$ とすると $\tan\gamma=\dfrac{1}{2}$．求める直線と $x$ 軸のなす角は $\gamma\pm\dfrac{\pi}{4}$ であるから，求める直線の傾きは \[ \tan\left(\gamma+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\frac{1}{2}+1}{1-\frac{1}{2}}=3,\qquad \tan\left(\gamma-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\frac{1}{2}-1}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{1}{3} \] 点 $(1,\ 2)$ を通るから $y=3x-1$，$y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{3}$