tan の加法定理で2直線のなす角（A）

(1) 2 直線と $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\alpha,\ \beta$ とすると $\tan\alpha=3$，$\tan\beta=\dfrac{1}{2}$． \[ \tan(\alpha-\beta)=\frac{3-\frac{1}{2}}{1+3\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}=1 \] $\tan\alpha>\tan\beta>0$ より $0<\beta<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ であるから，$0<\alpha-\beta<\dfrac{\pi}{2}$ である．よって $\theta=\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{4}$（下図） (2) 求める直線の傾きを $m$ とする．直線 $y=2x+1$ と $x$ 軸のなす角を $\gamma$（$\tan\gamma=2$）とすると，求める直線と $x$ 軸のなす角は $\gamma\pm\dfrac{\pi}{4}$ であるから \[ m=\tan\left(\gamma+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2+1}{1-2}=-3,\qquad m=\tan\left(\gamma-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2-1}{1+2}=\frac{1}{3} \]