α, β の範囲に注意して sin(α+β) などを求める（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: α, β の範囲に注意して sin(α+β) などを求める（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$，$0<\beta<\dfrac{\pi}{2}$ で，$\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$，$\cos\beta=\dfrac{12}{13}$ のとき，次の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\sin(\alpha-\beta)$
\item[(2)] $\cos(\alpha+\beta)$
\item[(3)] $\tan(\alpha-\beta)$
\end{enumerate}
$\cos\alpha=\dfrac{3}{5}$，$\sin\beta=\dfrac{5}{13}$（いずれも正）
(1) $\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{12}{13}-\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5}{13}=\dfrac{48-15}{65}=\dfrac{33}{65}$
(2) $\cos(\alpha+\beta)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{12}{13}-\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5}{13}=\dfrac{36-20}{65}=\dfrac{16}{65}$
(3) $\tan\alpha=\dfrac{4}{3}$，$\tan\beta=\dfrac{5}{12}$ であるから
\[ \tan(\alpha-\beta)=\frac{\frac{4}{3}-\frac{5}{12}}{1+\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{12}}=\frac{\frac{11}{12}}{\frac{14}{9}}=\frac{33}{56} \]
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