sinθ, cosθ を解とする2次方程式（B）

解と係数の関係より $\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{5}$，$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{k}{25}$ (1) $\left(\dfrac{1}{5}\right)^2=1+2\cdot\dfrac{k}{25}$ より $\dfrac{2k}{25}=-\dfrac{24}{25}$，よって $k=-12$ (2) $\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{12}{25}$ であるから \[ \sin^3\theta+\cos^3\theta=\left(\frac{1}{5}\right)^3-3\cdot\left(-\frac{12}{25}\right)\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{125}+\frac{36}{125}=\frac{37}{125} \] (3) $25x^2-5x-12=0$ より $(5x-4)(5x+3)=0$．よって $x=\dfrac{4}{5},\ -\dfrac{3}{5}$ $\left(\dfrac{4}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2=1$ であるから，$\sin\theta=\dfrac{4}{5}$，$\cos\theta=-\dfrac{3}{5}$（または $\sin\theta=-\dfrac{3}{5}$，$\cos\theta=\dfrac{4}{5}$）となる $\theta$ は存在し，適する．