sin²θ+cos²θ=1 を使った式変形（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: sin²θ+cos²θ=1 を使った式変形（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の等式を証明せよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $(1+\tan\theta)^2+(1-\tan\theta)^2=\dfrac{2}{\cos^2\theta}$
\item[(2)] $\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\tan\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$
\item[(3)] $\sin^4\theta-\cos^4\theta=2\sin^2\theta-1$
\end{enumerate}
(1) $(\text{左辺})=2+2\tan^2\theta=2(1+\tan^2\theta)=\dfrac{2}{\cos^2\theta}$
(2)
\[ (\text{左辺})=\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\cos^2\theta+\sin\theta(1+\sin\theta)}{(1+\sin\theta)\cos\theta}=\frac{1+\sin\theta}{(1+\sin\theta)\cos\theta}=\frac{1}{\cos\theta} \]
(3) $(\text{左辺})=(\sin^2\theta+\cos^2\theta)(\sin^2\theta-\cos^2\theta)=\sin^2\theta-(1-\sin^2\theta)=2\sin^2\theta-1$
\hfill 〔証明終〕
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