直線と円の交点を両方通る円の方程式（B）

$k$ を定数として，$x^2+y^2-4x+k(x-y)=0$ ……① を考える．① は 2 交点を通る円を表す． (1) 点 $(1,\ 3)$ を通るとき $1+9-4+k(1-3)=0$ より $k=3$． \[ x^2+y^2-x-3y=0 \] (2) ① は $x^2+y^2+(k-4)x-ky=0$ で，中心は $\left(\dfrac{4-k}{2},\ \dfrac{k}{2}\right)$．2 交点を通る円の直径は 2 交点を結ぶ線分の長さ以上であるから，半径が最小となるのは，2 交点を結ぶ線分が直径となるとき，すなわち中心が直線 $y=x$ 上にあるときで，$\dfrac{k}{2}=\dfrac{4-k}{2}$ より $k=2$． \[ x^2+y^2-2x-2y=0 \] （2 交点は $(0,\ 0)$，$(2,\ 2)$ で，この円はそれを直径の両端とする円 $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ である．）