直線と円の交点を両方通る円の方程式（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 直線と円の交点を両方通る円の方程式（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
円 $x^2+y^2=25$ と直線 $x+y=1$ は 2 点で交わる．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 2 つの交点と点 $(1,\ 2)$ を通る円の方程式を求めよ．
\item[(2)] 2 つの交点を通る円のうち，半径が最小となる円の方程式を求めよ．
\end{enumerate}
$k$ を定数として，次の方程式を考える．
\[ x^2+y^2-25+k(x+y-1)=0\quad\cdots\text{①} \]
① は円と直線の 2 交点を通る円を表す．
(1) ① が点 $(1,\ 2)$ を通るとき $1+4-25+2k=0$ より $k=10$．
\[ x^2+y^2+10x+10y-35=0 \]
(2) 2 交点を通る円の直径は，2 交点を結ぶ線分（弦）の長さ以上である．よって，2 交点を通る円の半径が最小になるのは，2 交点を結ぶ線分が直径となるとき，すなわち円の中心が直線 $x+y=1$ 上にあるときである．① を変形すると，中心は $\left(-\dfrac{k}{2},\ -\dfrac{k}{2}\right)$．これが $x+y=1$ 上にあるから $-k=1$ より $k=-1$．
\[ x^2+y^2-x-y-24=0 \]
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