座標軸に接する円・中心が直線上の円（A）

(1) 点 $(2,\ 1)$ は第 1 象限にあるから，円は第 1 象限で両軸に接し，半径を $r$ とすると中心は $(r,\ r)$． \[ (x-r)^2+(y-r)^2=r^2 \] 点 $(2,\ 1)$ を通るから $(2-r)^2+(1-r)^2=r^2$，整理して $r^2-6r+5=0$，$(r-1)(r-5)=0$ で $r=1,\ 5$． \[ (x-1)^2+(y-1)^2=1,\qquad (x-5)^2+(y-5)^2=25 \] （下図の 2 つの円） (2) 中心を $(a,\ a-1)$ とおくと，中心から 2 点までの距離が等しいから \[ (a-1)^2+(a-5)^2=(a-5)^2+(a-3)^2 \] よって $(a-1)^2=(a-3)^2$ より $a=2$．中心 $(2,\ 1)$，半径の 2 乗は $(2-1)^2+(1-4)^2=10$． \[ (x-2)^2+(y-1)^2=10 \]