3つの解の対称式の値（B）

解と係数の関係より \[ \alpha+\beta+\gamma=-3,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-1,\qquad \alpha\beta\gamma=-2 \] (1) $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=(-3)^2-2\cdot(-1)=11$ (2) $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=(\alpha+\beta+\gamma)\{(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\}+3\alpha\beta\gamma$ \[ =(-3)(11+1)+3\cdot(-2)=-42 \] (3) $x^3+3x^2-x+2=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ が恒等式として成り立つ．$x=1$ を代入して \[ (1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)=1+3-1+2=5 \] (4) $(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2=\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2+2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)$ であるから \[ \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2=(-1)^2-2\cdot(-2)\cdot(-3)=1-12=-11 \]