i の累乗・複素数の累乗の計算（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: i の累乗・複素数の累乗の計算（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の計算をせよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $i^{50}+i^{51}+i^{52}$
\item[(2)] $(1-i)^{10}$
\item[(3)] $x=1+2i$ のとき，$x^3-2x^2+5x+3$ の値
\end{enumerate}
(1) $i^4=1$ であるから $i^{50}=i^{48}\cdot i^2=-1$，$i^{51}=i^{48}\cdot i^3=-i$，$i^{52}=1$．よって
\[ (\text{与式})=-1-i+1=-i \]
(2) $(1-i)^2=1-2i+i^2=-2i$ であるから
\[ (1-i)^{10}=\{(1-i)^2\}^5=(-2i)^5=-32i^5=-32i \]
(3) $x=1+2i$ より $x-1=2i$．両辺を 2 乗して $x^2-2x+1=-4$，すなわち
\[ x^2-2x+5=0 \]
よって
\[ x^3-2x^2+5x+3=x(x^2-2x+5)+3=0+3=3 \]
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