i の累乗・複素数の累乗の計算（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: i の累乗・複素数の累乗の計算（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の計算をせよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $i+i^2+i^3+\cdots+i^{10}$
\item[(2)] $\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{10}$
\item[(3)] $x=2-i$ のとき，$x^3-3x^2+x+4$ の値
\end{enumerate}
(1) $i,\ i^2,\ i^3,\ i^4=i,\ -1,\ -i,\ 1$ で，4 つごとに同じ値をくり返し，その和は $0$ である．よって
\[ (\text{与式})=(i+i^2+\cdots+i^8)+i^9+i^{10}=0+i+(-1)=-1+i \]
(2) $\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{2i}{2}=i$ であるから
\[ (\text{与式})=i^{10}=(i^4)^2\cdot i^2=-1 \]
(3) $x=2-i$ より $x-2=-i$．両辺を 2 乗して $x^2-4x+4=-1$，すなわち
\[ x^2-4x+5=0 \]
$x^3-3x^2+x+4$ を $x^2-4x+5$ で割ると，商 $x+1$，余り $-1$ であるから
\[ x^3-3x^2+x+4=(x^2-4x+5)(x+1)-1=0\cdot(x+1)-1=-1 \]
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