商と余りから元の多項式を求める（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 商と余りから元の多項式を求める（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] 多項式 $A$ を $x^2+2x-3$ で割ると，商が $2x-1$，余りが $-x+4$ である．$A$ を求めよ．
\item[(2)] $x^3+2x^2+5$ を多項式 $B$ で割ると，商が $x+3$，余りが $2x+2$ である．$B$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $A=(x^2+2x-3)(2x-1)+(-x+4)$
\[ =(2x^3+3x^2-8x+3)-x+4=2x^3+3x^2-9x+7 \]
(2) 条件から
\[ x^3+2x^2+5=B(x+3)+2x+2 \]
よって $B(x+3)=x^3+2x^2-2x+3$ であるから，$B$ は $x^3+2x^2-2x+3$ を $x+3$ で割った商である．割り算を行うと
\[ x^3+2x^2-2x+3=(x+3)(x^2-x+1) \]
（割り切れる）．したがって $B=x^2-x+1$
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