空間の点の位置と距離（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 空間の点の位置と距離（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
座標空間に 4 点 $\mathrm{O}(0,0,0)$，$\mathrm{A}(2,0,0)$，$\mathrm{B}(0,2,0)$，$\mathrm{C}(0,0,2)$ がある．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\triangle\mathrm{ABC}$ はどのような三角形か．
\item[(2)] 4 点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ から等距離にある点 $\mathrm{P}$ の座標と，その距離を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$ であるから，1 辺 $2\sqrt{2}$ の正三角形
(2) $\mathrm{P}(x,y,z)$ とすると，$\mathrm{PO}^2=\mathrm{PA}^2$ より
\[ x^2+y^2+z^2=(x-2)^2+y^2+z^2 \qquad x=1 \]
同様に $\mathrm{PO}^2=\mathrm{PB}^2$ より $y=1$，$\mathrm{PO}^2=\mathrm{PC}^2$ より $z=1$
よって $\mathrm{P}(1,\ 1,\ 1)$ で，距離は $\mathrm{PO}=\sqrt{3}$
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