指数を含む式と倍数を合同式で調べる（B）

(1) $2\equiv -1\pmod{3}$ より $2^n+1\equiv(-1)^n+1\pmod{3}$ $n$ が奇数のとき $(-1)^n+1=0$，偶数のとき $2$ であるから，求める条件は $n$ が奇数であること． (2) 9 を法として $2^1\equiv 2$，$2^2\equiv 4$，$2^3\equiv 8$，$2^4\equiv 7$，$2^5\equiv 5$，$2^6\equiv 1$ で，$2^6\equiv 1$ であるから $2^{n+6}=2^n\cdot 2^6\equiv 2^n$ となり，以後この 6 個がくり返される． $2^n+1\equiv 0$，すなわち $2^n\equiv 8\pmod{9}$ となるのは $n\equiv 3\pmod{6}$ のとき． よって求める条件は，$n$ を 6 で割った余りが 3 であること（$n=3,\ 9,\ 15,\ \cdots$）．