合同式を用いて倍数であることを証明する（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 合同式を用いて倍数であることを証明する（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
すべての自然数 $n$ について，$2^{3n}-1$ は 7 の倍数であることを，合同式を用いて証明せよ．
$2^{3n}=(2^3)^n=8^n$ であり，$8\equiv 1\pmod{7}$ であるから
\[ 2^{3n}-1=8^n-1\equiv 1^n-1=0\pmod{7} \]
よって $2^{3n}-1$ は 7 の倍数である．
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