合同式を用いて倍数であることを証明する（A）

5 を法として，$n\equiv 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$ のいずれかである． $n\equiv 0$ のとき $n^5-n\equiv 0$ $n\equiv 1$ のとき $n^5-n\equiv 1-1=0$ $n\equiv 2$ のとき $n^5-n\equiv 32-2=30\equiv 0$ $n\equiv 3$ のとき $n^5-n\equiv 243-3=240\equiv 0$ $n\equiv 4$ のとき，$4\equiv -1$ より $n^5-n\equiv -1-(-1)=0$ いずれの場合も $n^5-n\equiv 0\pmod{5}$ であるから，$n^5-n$ は 5 の倍数である．