合同式の計算規則（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 合同式の計算規則（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$m$ を自然数とし，$a$，$b$ を整数とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a\equiv b\pmod{m}$ ならば，自然数 $n$ について $a^n\equiv b^n\pmod{m}$ であることを証明せよ．
\item[(2)] $38^5$ を 7 で割った余りを求めよ．
\end{enumerate}
(1) 仮定より，整数 $k$ を用いて $a=b+km$ と表せる．
ある自然数 $j$ について $a^j\equiv b^j\pmod{m}$ であるとすると，整数 $l$ を用いて $a^j=b^j+lm$ と表せるから
\[ a^{j+1}=a^j\cdot a=(b^j+lm)(b+km)=b^{j+1}+(b^jk+bl+klm)m \]
$b^jk+bl+klm$ は整数であるから，$a^{j+1}\equiv b^{j+1}\pmod{m}$ である．
$a\equiv b\pmod{m}$ から始めてこれをくり返し用いると，$a^2\equiv b^2$，$a^3\equiv b^3$，$\cdots$ となるから，$a^n\equiv b^n\pmod{m}$
(2) $38=7\cdot 5+3$ より $38\equiv 3\pmod{7}$．(1) より
\[ 38^5\equiv 3^5=243=7\cdot 34+5\equiv 5\pmod{7} \]
よって余りは 5
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