合同式の計算規則（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 合同式の計算規則（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$m$ を自然数とし，$a$，$b$，$c$，$d$ を整数とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a\equiv b$，$c\equiv d\pmod{m}$ ならば $ac\equiv bd\pmod{m}$ であることを証明せよ．
\item[(2)] $123\times 456$ を 7 で割った余りを求めよ．
\end{enumerate}
(1) 仮定より，整数 $k$，$l$ を用いて $a=b+km$，$c=d+lm$ と表せる．
\[ ac=(b+km)(d+lm)=bd+(bl+dk+klm)m \]
$bl+dk+klm$ は整数であるから $ac-bd$ は $m$ の倍数で，$ac\equiv bd\pmod{m}$
(2) $123=7\cdot 17+4$ より $123\equiv 4$，$456=7\cdot 65+1$ より $456\equiv 1\pmod{7}$
(1) より $123\times 456\equiv 4\times 1=4\pmod{7}$．よって余りは 4
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