n と互いに素な数の個数（B）

(1) 210 と互いに素な数は，2，3，5，7 のどれでも割り切れない数である．210 以下の自然数のうち，2，3，5，7 の倍数全体の集合をそれぞれ $A$，$B$，$C$，$D$ とする．少なくとも 1 つで割り切れる数の個数 $n(A\cup B\cup C\cup D)$ は，3 つの集合の和集合の要素の個数の公式と同様に，1 つずつの個数の和から 2 つずつの共通部分の個数の和を引き，3 つずつの共通部分の個数の和を加え，4 つすべての共通部分の個数を引いて \begin{align*} &(105+70+42+30)-(35+21+15+14+10+6)+(7+5+3+2)-1\\ &=247-101+17-1=162 \end{align*} よって $210-162=48$ (個) (2) $n$ が 210 と互いに素ならば，$210-n$ も 210 と互いに素である（共通の素因数 $p$ があれば $p$ は $n$ も割り切ってしまう）．ここで，210 と 105 は 210 と互いに素でないから，$1\leqq n\leqq 209$，$n\neq 105$ であり，$1\leqq 210-n\leqq 209$，$n\neq 210-n$ である．よって，48 個の数は $n$ と $210-n$ の 24 組に分けられ，各組の和は 210 である． 和は $24\times 210=5040$