素因数分解と正の約数の個数・総和（B）

$n=p^aq^b\cdots$（$p$，$q$，… は異なる素数）と素因数分解すると，約数の個数は $(a+1)(b+1)\cdots$ である． $10=10$ または $10=5\times 2$ であるから，$n$ は次のどちらかの形である． (i) $n=p^9$：最小は $2^9=512$ (ii) $n=p^4q$（$p\neq q$）：$p=2$ のとき $q\geqq 3$ であるから $n\geqq 2^4\cdot 3=48$，$p\geqq 3$ のとき $q\geqq 2$ であるから $n\geqq 3^4\cdot 2=162$ である．よって，最小は $2^4\cdot 3=48$ よって最小の自然数は 48