4点が同一円周上にあることの証明（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 4点が同一円周上にあることの証明（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ から対辺に垂線 $\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$ を下ろし，その交点を $\mathrm{H}$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 4 点 $\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$ は 1 つの円周上にあることを示せ．
\item[(2)] 四角形 $\mathrm{AFHE}$ は円に内接することを示せ．
\end{enumerate}
(1) $\angle\mathrm{BEC}=\angle\mathrm{BFC}=90^\circ$ であり，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$ は直線 $\mathrm{BC}$ に関して同じ側にある．よって円周角の定理の逆より，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$ は $\mathrm{BC}$ を直径とする円周上にある．すなわち 4 点 $\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$ は同一円周上にある．
(2) 四角形 $\mathrm{AFHE}$ において $\angle\mathrm{AFH}=\angle\mathrm{AEH}=90^\circ$ であるから
\[ \angle\mathrm{AFH}+\angle\mathrm{AEH}=180^\circ \]
対角の和が $180^\circ$ であるから，四角形 $\mathrm{AFHE}$ は円に内接する．
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます