直線上の点を経由する最短の折れ線（B）

$x$ 軸に関して $\mathrm{A}$ と対称な点を $\mathrm{A}_1(3,\ -1)$，直線 $y=x$ に関して $\mathrm{A}$ と対称な点を $\mathrm{A}_2(1,\ 3)$ とすると，$\mathrm{AP}=\mathrm{A_1P}$，$\mathrm{QA}=\mathrm{QA_2}$ であるから \[ \mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QA}=\mathrm{A_1P}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QA_2}\geqq\mathrm{A_1A_2} \] 等号は $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ が線分 $\mathrm{A_1A_2}$ 上にあるとき成り立つ． $\mathrm{A_1A_2}=\sqrt{(1-3)^2+(3+1)^2}=2\sqrt{5}$ 直線 $\mathrm{A_1A_2}$ は傾き $\dfrac{3-(-1)}{1-3}=-2$ で $y=-2x+5$． $x$ 軸との交点は $\mathrm{P}\left(\dfrac{5}{2},\ 0\right)$，直線 $y=x$ との交点は $x=-2x+5$ より $\mathrm{Q}\left(\dfrac{5}{3},\ \dfrac{5}{3}\right)$ よって，最小値は $2\sqrt{5}$ で，そのとき $\mathrm{P}\left(\dfrac{5}{2},\ 0\right)$，$\mathrm{Q}\left(\dfrac{5}{3},\ \dfrac{5}{3}\right)$