直線上の点を経由する最短の折れ線（A）

$x$ 軸に関して $\mathrm{A}$ と対称な点を $\mathrm{A}'(1,\ -3)$ とすると $\mathrm{AP}=\mathrm{A'P}$ であるから \[ \mathrm{AP}+\mathrm{PB}=\mathrm{A'P}+\mathrm{PB}\geqq\mathrm{A'B} \] 等号は $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{A'B}$ 上にあるとき成り立つ（三角形の 2 辺の和は他の 1 辺より大きい）． $\mathrm{A'B}=\sqrt{(5-1)^2+(1+3)^2}=4\sqrt{2}$ 直線 $\mathrm{A'B}$ は傾き $\dfrac{1-(-3)}{5-1}=1$ で，$y=x-4$．$y=0$ とおいて $x=4$ よって最小値 $4\sqrt{2}$，そのとき $\mathrm{P}(4,\ 0)$