内部の点を通る折れ線と2辺の和の比較（B）

［左側の不等式］$\triangle\mathrm{PAB}$，$\triangle\mathrm{PBC}$，$\triangle\mathrm{PCA}$ において \[ \mathrm{PA}+\mathrm{PB}>\mathrm{AB},\quad \mathrm{PB}+\mathrm{PC}>\mathrm{BC},\quad \mathrm{PC}+\mathrm{PA}>\mathrm{CA} \] 辺々加えて $2(\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC})>L$ ［右側の不等式］直線 $\mathrm{BP}$ と辺 $\mathrm{AC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする．$\triangle\mathrm{ABD}$，$\triangle\mathrm{PDC}$ において，三角形の 2 辺の和は他の 1 辺より大きいから \[ \mathrm{AB}+\mathrm{AD}>\mathrm{BD}=\mathrm{PB}+\mathrm{PD},\quad \mathrm{PD}+\mathrm{DC}>\mathrm{PC} \] 辺々加えて，$\mathrm{AD}+\mathrm{DC}=\mathrm{AC}$ を用いると $\mathrm{AB}+\mathrm{AC}>\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$ 頂点 $\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ についても，直線 $\mathrm{CP}$ と辺 $\mathrm{AB}$ の交点，直線 $\mathrm{AP}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点をそれぞれとって同じように考えると \[ \mathrm{BA}+\mathrm{BC}>\mathrm{PA}+\mathrm{PC},\qquad \mathrm{CA}+\mathrm{CB}>\mathrm{PA}+\mathrm{PB} \] 3 式を辺々加えて $2L>2(\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC})$ 以上より $\dfrac{L}{2}<\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}<L$