内部の点を通る折れ線と2辺の和の比較（A）

直線 $\mathrm{BP}$ と辺 $\mathrm{AC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする（下図）． $\triangle\mathrm{ABD}$ において，三角形の 2 辺の和は他の 1 辺より大きいので \[ \mathrm{AB}+\mathrm{AD}>\mathrm{BD}=\mathrm{BP}+\mathrm{PD} \quad\cdots\text{①} \] $\triangle\mathrm{PDC}$ において \[ \mathrm{PD}+\mathrm{DC}>\mathrm{PC} \quad\cdots\text{②} \] ① + ② より $\mathrm{AB}+\mathrm{AD}+\mathrm{PD}+\mathrm{DC}>\mathrm{BP}+\mathrm{PD}+\mathrm{PC}$ $\mathrm{AD}+\mathrm{DC}=\mathrm{AC}$ であるから $\mathrm{AB}+\mathrm{AC}>\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$