内分点を結ぶ直線と辺の比（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 内分点を結ぶ直線と辺の比（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$\triangle\mathrm{ABC}$ において，辺 $\mathrm{BC}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{D}$，辺 $\mathrm{CA}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とし，線分 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$ と $\mathrm{BP}:\mathrm{PE}$ を求めよ．
$\triangle\mathrm{ADC}$ と直線 $\mathrm{BE}$ について，メネラウスの定理より
\[ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}}\cdot\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1 \qquad \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=1 \]
よって $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=3:1$
$\triangle\mathrm{BCE}$ と直線 $\mathrm{AD}$ について
\[ \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AE}}\cdot\frac{\mathrm{EP}}{\mathrm{PB}}=1 \qquad 2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{\mathrm{EP}}{\mathrm{PB}}=1 \]
よって $\mathrm{BP}:\mathrm{PE}=3:1$
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