途中でやめるゲームの賞金の期待値（B）
★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 途中でやめるゲームの賞金の期待値（A） （★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH））
問題
硬貨を投げ続け，裏が出るか，表が $n$ 回続けて出たところでやめる．それまでに出た表の回数を $h$ とするとき，$100\times 2^h$ 円をもらえるゲームを考える（$n$ は自然数）．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $n=4$ のとき，もらえる金額の期待値を求めよ．
\item[(2)] もらえる金額の期待値を $n$ の式で表せ．
\item[(3)] 参加料が 500 円のとき，このゲームが参加者に有利になる最小の $n$ を求めよ．
\end{enumerate}
(2) から先に考える．$h=k$（$0\leqq k\leqq n-1$）となるのは，表が $k$ 回続いたあとに裏が出るときで，確率は $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}$．このときもらえる金額は $100\cdot 2^k$ 円であるから，積は $100\cdot 2^k\cdot\dfrac{1}{2^{k+1}}=50$
$h=n$ となるのは表が $n$ 回続くときで，確率は $\dfrac{1}{2^n}$，金額は $100\cdot 2^n$ 円であるから，積は $100$
(2) $h=0$，$1$，$\cdots$，$n-1$ の $n$ 個の場合について，(金額)$\times$(確率) はすべて 50 であり，$h=n$ の場合は 100 であるから，期待値は
\[ 50\cdot n+100=50n+100\ (\text{円}) \]
(1) (2) の結果に $n=4$ を代入して，期待値は $50\cdot 4+100=300$ (円)
(3) 期待値が参加料 500 円より大きくなればよいから，$50n+100>500$ より $n>8$．よって最小の $n$ は $9$
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