途中でやめるゲームの賞金の期待値（A）
★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 途中でやめるゲームの賞金の期待値（B） （★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH））
問題
次のゲームを考える．さいころを最大 3 回まで投げることができ，投げるたびに，そこでやめるか，もう一度投げるかを選べる．やめたとき（または 3 回目を投げたとき）に最後に出た目の数の 100 倍の金額（円）をもらえる．参加料は 500 円である．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 2 回目を投げたあと，3 回目を投げるべきなのは 2 回目の目がいくつ以下のときか．また，2 回目以降をこのようにふるまうとき，2 回目を投げる時点でのもらえる金額の期待値を求めよ．
\item[(2)] もらえる金額の期待値が最大となるようにふるまうとき，その期待値を求め，このゲームに参加することは有利か判断せよ．
\end{enumerate}
(1) 3 回目を投げると，もらえる金額の期待値は $100\times\dfrac{7}{2}=350$ 円である．したがって，2 回目の目が 3 以下（300 円以下）なら 3 回目を投げ，4 以上ならやめるのがよい．
このとき，2 回目を投げる時点でのもらえる金額の期待値は
\[ \frac{400+500+600}{6}+\frac{3}{6}\cdot 350=250+175=425\ (\text{円}) \]
(2) 1 回目の目を見て，もう一度投げると (1) より 425 円が期待できる．したがって，1 回目の目が 4 以下なら 2 回目を投げ，5 以上ならやめるのがよい．このとき期待値は
\[ \frac{500+600}{6}+\frac{4}{6}\cdot 425=\frac{1100+1700}{6}=\frac{1400}{3}\fallingdotseq 466.7\ (\text{円}) \]
これは参加料 500 円より小さいので，最もうまくふるまっても参加すると不利である．
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