図形の頂点から選ぶときの面積・距離の期待値（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 図形の頂点から選ぶときの面積・距離の期待値（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
座標平面上の 5 点 $(1,1)$，$(1,-1)$，$(-1,1)$，$(-1,-1)$，$(0,0)$ から，無作為に 2 点を選ぶ．2 点間の距離を $d$ とするとき，次の期待値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $d^2$ の期待値
\item[(2)] $d$ の期待値
\end{enumerate}
2 点の選び方は ${}_5\mathrm{C}_2=10$ 通り．これらは次のように分類できる．
・中心と頂点：4 通り，$d=\sqrt{2}$
・正方形の隣り合う頂点（辺）：4 通り，$d=2$
・正方形の向かい合う頂点（対角線）：2 通り，$d=2\sqrt{2}$
(1) $d^2$ の期待値は $\dfrac{4\cdot 2+4\cdot 4+2\cdot 8}{10}=\dfrac{40}{10}=4$
(2) $d$ の期待値は $\dfrac{4\sqrt{2}+4\cdot 2+2\cdot 2\sqrt{2}}{10}=\dfrac{8+8\sqrt{2}}{10}=\dfrac{4+4\sqrt{2}}{5}$
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