図形の頂点から選ぶときの面積・距離の期待値（A）

3 頂点の選び方は ${}_6\mathrm{C}_3=20$ 通りで，できる三角形は次の 3 種類である． (i) 隣り合う 3 頂点（正六角形と 2 辺を共有）：6 個．2 辺が 1 で，その間の角が $120^\circ$ なので，面積は $\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot\sin 120^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ (ii) 1 つおきの 3 頂点（正三角形）：2 個．1 辺は $\sqrt{3}$ なので，面積は $\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ (iii) 正六角形の外接円の直径（向かい合う頂点を結ぶ対角線）を 1 辺とする三角形：直径は 3 本あり，それぞれに対して残りの頂点が 4 個ずつあるから $3\times 4=12$ 個．(i)，(ii) の三角形は直径を辺にもたないから，$6+2+12=20$ より，これですべての三角形を数えている．直径に対する円周角は $90^\circ$ であるから，この三角形は斜辺が 2 の直角三角形で，残りの頂点は直径の一方の端と隣り合うから 1 辺は 1，三平方の定理より他の 1 辺は $\sqrt{3}$ である．面積は $\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ よって期待値は \[ \frac{6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}+2\cdot\frac{3\sqrt{3}}{4}+12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{20}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}+6\sqrt{3}}{20}=\frac{9\sqrt{3}}{20} \]