データの変換・追加と共分散・相関係数（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: データの変換・追加と共分散・相関係数（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
10 個のデータ $(x,\ y)$ について，$x$ の平均値 $5$，標準偏差 $2$，$y$ の平均値 $8$，標準偏差 $3$，相関係数 $0.5$ であった．このデータに 11 個目のデータとして $(5,\ 8)$ を加えた．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 11 個のデータの $x$ の分散と，$x$，$y$ の共分散を求めよ．
\item[(2)] 11 個のデータの相関係数を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 加えたデータは平均値と一致するので，平均値は $x$ が $5$，$y$ が $8$ のまま変わらない．また，加えたデータの偏差は $0$ である．
もとの 10 個について，$x$ の偏差の 2 乗の和は $10\cdot 4=40$，$y$ の偏差の 2 乗の和は $10\cdot 9=90$，偏差の積の和は $10\cdot(0.5\cdot 2\cdot 3)=30$
11 個のデータでは，これらの和は変わらず，個数が $11$ になるから
\[ s_x^2=\frac{40}{11},\qquad s_{xy}=\frac{30}{11} \]
(2) $s_y^2=\dfrac{90}{11}$ であるから
\[ r=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}=\frac{\frac{30}{11}}{\sqrt{\frac{40}{11}}\sqrt{\frac{90}{11}}}=\frac{30}{\sqrt{3600}}=0.5 \]
相関係数は変わらない．
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