データの変換・追加と共分散・相関係数（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: データの変換・追加と共分散・相関係数（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
2 つの変量 $x$，$y$ の標準偏差がそれぞれ $2$，$5$，相関係数が $0.6$ である．新しい変量 $u=2x+3$，$v=-3y+1$ を作るとき，次のものを求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $u$，$v$ の標準偏差
\item[(2)] $u$ と $v$ の共分散
\item[(3)] $u$ と $v$ の相関係数
\end{enumerate}
(1) $s_u=2s_x=4$，\quad $s_v=|-3|s_y=15$
(2) $r=\dfrac{s_{xy}}{s_xs_y}$ より，$x$，$y$ の共分散は $s_{xy}=0.6\cdot 2\cdot 5=6$
各データについて $u-\overline{u}=2(x-\overline{x})$，$v-\overline{v}=-3(y-\overline{y})$ であるから，偏差の積は $-6$ 倍になり
\[ s_{uv}=-6s_{xy}=-36 \]
(3) $r_{uv}=\dfrac{s_{uv}}{s_us_v}=\dfrac{-36}{4\cdot 15}=-0.6$
（一般に，$x$ と $y$ の一方を負の係数で変換すると，相関係数は符号だけが変わる．）
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