数学C 空間の位置ベクトルと図形の問題 30件

四面体 $\mathrm{OABC}$ において，辺 $\mathrm{OA}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{P}$，$\triangle\mathrm{OBC}$ の重心を $\mathrm{Q}$，$\triangle\mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm{G}$，線分 $\mathrm{OG}$ の中点を $\mathrm{R}$ とする．3 点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{Q}$ は一直線上にあることを証明し，$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}$ を求めよ．

四面体 $\mathrm{ABCD}$ の辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$ とする．四角形 $\mathrm{PQRS}$ は平行四辺形であることを証明せよ．

四面体 $\mathrm{OABC}$ において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\angle\mathrm{AOB}=\angle\mathrm{AOC}=60^\circ$，$\angle\mathrm{BOC}=90^\circ$ とする．$\triangle\mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm{G}$ とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] 線分 $\mathrm{OG}$ の長さを求めよ． \item[(2)] $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$ のなす角を $\theta$ とするとき，$\cos\theta$ を求めよ． \end{enumerate}

1 辺の長さが $1$ の正四面体 $\mathrm{OABC}$ において，辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{M}$，辺 $\mathrm{OC}$ の中点を $\mathrm{N}$ とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とするとき，次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] 線分 $\mathrm{MN}$ の長さを求めよ． \item[(2)] $\cos\angle\mathrm{MON}$ の値を求めよ． \end{enumerate}

四面体 $\mathrm{ABCD}$ と点 $\mathrm{P}$ が \[ 2\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\vec{0} \] を満たしている． \begin{enumerate} \item[(1)] 点 $\mathrm{P}$ はどのような位置にあるか． \item[(2)] 四面体 $\mathrm{PBCD}$ と四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積比を求めよ． \end{enumerate}

四面体 $\mathrm{ABCD}$ と点 $\mathrm{P}$ が \[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}+3\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\vec{0} \] を満たしている． \begin{enumerate} \item[(1)] 点 $\mathrm{P}$ はどのような位置にあるか． \item[(2)] 四面体 $\mathrm{PBCD}$ と四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積比を求めよ． \end{enumerate}

平行六面体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ の 4 本の対角線 $\mathrm{AG}$，$\mathrm{BH}$，$\mathrm{CE}$，$\mathrm{DF}$ は 1 点で交わることを，それぞれの中点が一致することを示して証明せよ．

四面体 $\mathrm{ABCD}$ において，辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{CD}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，辺 $\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$ とする．線分 $\mathrm{PQ}$ の中点と線分 $\mathrm{RS}$ の中点は一致することを証明せよ．

四面体 $\mathrm{ABCD}$ の頂点の位置ベクトルを $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$，$\vec{d}$ とする．$\triangle\mathrm{BCD}$ の重心を $\mathrm{G_1}$ とし，線分 $\mathrm{AG_1}$ を $3:1$ に内分する点を $\mathrm{P}$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] 点 $\mathrm{P}$ の位置ベクトルを $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$，$\vec{d}$ で表せ． \item[(2)] $\triangle\mathrm{ACD}$ の重心を $\mathrm{G_2}$ とするとき，点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{BG_2}$ 上にもあることを示せ． \end{enumerate}

3 点 $\mathrm{A}(1,\,2,\,3)$，$\mathrm{B}(4,\,-1,\,6)$，$\mathrm{C}(1,\,2,\,0)$ について，次の点の座標を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] 線分 $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に内分する点 $\mathrm{P}$ \item[(2)] 線分 $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に外分する点 $\mathrm{Q}$ \item[(3)] $\triangle\mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm{G}$ \end{enumerate}