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★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数複素数平面上で，点 P は原点 O から出発し，まず実軸の正の向きに $1$ 進む．その後，進む向きを左に $60^\circ$ ずつ変えながら，前回の $\dfrac{1}{2}$ の長さずつ進むことを限りなく続ける（下図）．P が $n$ 回進んだ後の位置を表す複素数を $z_n$ とする（$z_0=0$）． \begin{enumerate} \item[(1)] $w_n=z_{n+1}-z_n\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ を求めよ． \item[(2)] 点 P が近づいていく点を表す複素数を求めよ． \end{enumerate}
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★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数$z=\dfrac{1+i}{2}$ とし，$S_n=1+z+z^2+\cdots+z^{n-1}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $z$ を極形式で表せ． \item[(2)] 複素数平面上で，点 $S_n$ が限りなく近づく点を表す複素数を求めよ． \item[(3)] $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\cos\frac{n\pi}{4}$ および $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\sin\frac{n\pi}{4}$ を求めよ． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数$x>0$ のとき $\log(1+x)<x$ が成り立つことを用いて，次のことを示せ．ただし，対数は自然対数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}>\log(n+1)$ \item[(2)] 無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ および $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}$ はともに発散する． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数$S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] 自然数 $m$ に対して $S_{2^m}\geqq 1+\dfrac{m}{2}$ が成り立つことを示せ． \item[(2)] 無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ は発散することを示せ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数$|x|<1$ とする．$\displaystyle\lim_{n\to\infty}nx^n=0$ を用いてよいものとして，次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$ を示せ． \item[(2)] $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}$ を求めよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=1+2\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+\cdots$ の和を求めよ．ただし，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}=0$ を用いてよい． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数次の無限級数の収束・発散を調べ，収束するときはその和を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{2^3}-\dfrac{1}{3^3}+\cdots$ \item[(2)] $1-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{7}+\cdots$ \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数次の無限級数の収束・発散を調べ，収束するときはその和を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots$ \item[(2)] $2-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{4}+\cdots$ \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数次の無限級数の和を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n+3^n}{6^n}$ \item[(2)] $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4^{n+1}-3^n}{5^n}$ \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数次の無限級数の和を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^n+\left(-\frac{1}{3}\right)^n\right\}$ \item[(2)] $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n+(-2)^n}{5^n}$ \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数無限等比級数 $a+ar+ar^2+\cdots$ の和が $4$ で，各項を 3 乗してできる無限等比級数の和が $\dfrac{64}{7}$ であるとき，初項 $a$ と公比 $r$ を求めよ． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数無限等比級数 $a+ar+ar^2+\cdots$ の和が $3$ で，各項を 2 乗してできる無限等比級数 $a^2+a^2r^2+a^2r^4+\cdots$ の和が $\dfrac{9}{2}$ であるとき，初項 $a$ と公比 $r$ を求めよ． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数$\angle\mathrm{XOY}=60^\circ$ である 2 本の半直線 OX，OY の両方に接する円を，下図のように O に向かって次々にかいていく．最初の円 $C_1$ の半径を 1 とし，$C_{n+1}$ は $C_n$ と外接し，$C_n$ より O に近い側にあるとする． \begin{enumerate} \item[(1)] $C_n$ の半径 $r_n$ を求めよ． \item[(2)] 円 $C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$ の面積の総和を求めよ． \end{enumerate}
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★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数$\angle\mathrm{XOY}=30^\circ$ である 2 本の半直線 OX，OY がある．OX 上に $\mathrm{OP}_1=2$ となる点 $\mathrm{P}_1$ をとり，$\mathrm{P}_1$ から OY に垂線 $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2$ を下ろし，$\mathrm{P}_2$ から OX に垂線 $\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3$ を下ろす．以下同様に垂線を下ろし続けるとき，線分の長さの和 $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3+\mathrm{P}_3\mathrm{P}_4+\cdots$ を求めよ．
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★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数1 辺の長さが 1 の正三角形 $T_1$ に内接する円を $C_1$，$C_1$ に内接する正三角形を $T_2$，$T_2$ に内接する円を $C_2$ とし，以下同様にして円 $C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$ を作る（下図）．円 $C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$ の面積の総和を求めよ．
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★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数1 辺の長さが 1 の正方形 $S_1$ がある．$S_1$ の各辺の中点を結んでできる正方形を $S_2$ とし，以下同様にして正方形 $S_3,\ S_4,\ \cdots$ を作る（下図）． \begin{enumerate} \item[(1)] 正方形 $S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$ の面積の総和を求めよ． \item[(2)] 正方形 $S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$ の周の長さの総和を求めよ． \end{enumerate}
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★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数座標平面上で，点 P は原点 O から出発して，$x$ 軸の正の向きに $1$ 進み，次に $y$ 軸の負の向きに $\dfrac{2}{3}$ 進み，次に $x$ 軸の負の向きに $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ 進む．このように，進む向きを右に $90^\circ$ ずつ変えながら，前回の $\dfrac{2}{3}$ の長さずつ進むことを限りなく続けるとき，点 P が近づいていく点の座標を求めよ．
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★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数座標平面上で，点 P は原点 O から出発して，$x$ 軸の正の向きに $1$ 進み，次に $y$ 軸の正の向きに $\dfrac{1}{2}$ 進み，次に $x$ 軸の負の向きに $\dfrac{1}{4}$ 進む．このように，進む向きを左に $90^\circ$ ずつ変えながら，前回の $\dfrac{1}{2}$ の長さずつ進むことを限りなく続けるとき，点 P が近づいていく点の座標を求めよ．
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★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数次の循環小数を分数で表せ． \begin{enumerate} \item[(1)] $0.\dot{7}$ \item[(2)] $2.\dot{1}0\dot{8}$ \item[(3)] $0.3\dot{6}$ \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
無限級数次の循環小数を分数で表せ． \begin{enumerate} \item[(1)] $0.\dot{4}\dot{5}$ \item[(2)] $0.1\dot{2}\dot{3}$ \end{enumerate}