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★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限1 個のさいころを $n$ 回投げるとき，1 の目が出る回数が偶数（0 回を含む）である確率を $p_n$ とする．$p_n$ を $n$ の式で表し，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$ を求めよ． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限正三角形 ABC の頂点上を動く点 P がある．P は 1 秒ごとに，いまいる頂点以外の 2 頂点のいずれかへ，それぞれ確率 $\dfrac{1}{2}$ で移動する．最初 P は頂点 A にいる．$n$ 秒後に P が頂点 A にいる確率を $p_n$ とするとき，$p_n$ を $n$ の式で表し，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$ を求めよ．
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★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限数直線上に点 $\mathrm{P}_1(0)$，$\mathrm{P}_2(4)$ をとり，$n=1,\,2,\,3,\,\cdots$ に対して，線分 $\mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}$ を $1:3$ に内分する点を $\mathrm{P}_{n+2}$ とする．$\mathrm{P}_n$ の座標を $x_n$ とするとき，$x_n$ を $n$ の式で表し，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$ を求めよ．
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★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限数直線上に点 $\mathrm{P}_1(0)$，$\mathrm{P}_2(3)$ をとり，$n=1,\,2,\,3,\,\cdots$ に対して，線分 $\mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{P}_{n+2}$ とする．$\mathrm{P}_n$ の座標を $x_n$ とするとき，$x_n$ を $n$ の式で表し，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$ を求めよ．
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★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{3a_n+4}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について \begin{enumerate} \item[(1)] $|a_{n+1}-4|\leqq\dfrac{1}{2}|a_n-4|$ を示せ． \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ を求めよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について \begin{enumerate} \item[(1)] $|a_{n+1}-2|\leqq\dfrac{1}{2}|a_n-2|$ を示せ． \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ を求めよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$a_1=2$，$b_1=1$， \[ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},\qquad b_{n+1}=\frac{a_n+3b_n}{4}\quad(n=1,\,2,\,3,\,\cdots) \] で定められる数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ について \begin{enumerate} \item[(1)] $a_n+2b_n$ は $n$ によらず一定であることを示せ． \item[(2)] $a_n$，$b_n$ を $n$ の式で表し，極限を求めよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$a_1=1$，$b_1=0$， \[ a_{n+1}=\frac{3a_n+b_n}{4},\qquad b_{n+1}=\frac{a_n+3b_n}{4}\quad(n=1,\,2,\,3,\,\cdots) \] で定められる数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ の一般項と極限を求めよ． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$a_1=3$，$a_{n+1}=\dfrac{4a_n-1}{a_n+2}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について \begin{enumerate} \item[(1)] $c_n=\dfrac{1}{a_n-1}$ とおくとき，$c_{n+1}$ を $c_n$ で表せ． \item[(2)] $a_n$ を $n$ の式で表し，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ を求めよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{3a_n+2}{a_n+2}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について \begin{enumerate} \item[(1)] $b_n=\dfrac{a_n-2}{a_n+1}$ とおくとき，$b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ． \item[(2)] $a_n$ を $n$ の式で表し，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ を求めよ． \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$a_1=1$，$a_2=2$，$3a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項と極限を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$a_1=0$，$a_2=1$，$a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}+a_n}{2}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項と極限を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$a_1=2$，$a_{n+1}=-\dfrac{1}{3}a_n+4\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項と極限を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+3\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項と極限を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限次の数列が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ．また，そのときの極限値を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\left\{\left(\dfrac{x+1}{3}\right)^n\right\}$ \item[(2)] $\{x(1-x)^{n-1}\}$ \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限次の無限等比数列が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ．また，そのときの極限値を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\{(2x-1)^n\}$ \item[(2)] $\{(x^2-2x)^n\}$ \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限次の極限を調べよ．ただし，(3) の $r$ は正の定数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{4^n-3^n}{2^{2n+1}+1}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{2^n+3^{n-1}}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{r^{n+1}+2}{r^n+1}$ \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限次の極限を調べよ．ただし，(3) の $r$ は実数の定数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3^n-2^n}{3^n+2^n}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}+5^n}{5^{n-1}-3^n}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{r^{2n}}{1+r^{2n}}$ \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限\begin{enumerate} \item[(1)] $h_n=\sqrt[n]{2}-1$ とおく．$2=(1+h_n)^n\geqq 1+nh_n$ を用いて，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$ を示せ． \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(2^n+5^n\right)^{\frac{1}{n}}$ を求めよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
数列の極限$a_n=\sqrt[n]{n}-1\ (n\geqq 2)$ とおく． \begin{enumerate} \item[(1)] $n=(1+a_n)^n$ に二項定理を用いて，$0<a_n<\sqrt{\dfrac{2}{n-1}}$ を示せ． \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$ を求めよ． \end{enumerate}