分数の中に分数がある式を簡単にする（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 分数の中に分数がある式を簡単にする（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の式を簡単にせよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{x-\dfrac{1}{x}}$
\item[(2)] $\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{x}}}$
\end{enumerate}
(1) 分母・分子に $x$ を掛けると
\[ \frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x+1} \]
(2) 内側から順に計算する．
\[ 1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\quad\text{より}\quad \frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{x}{x-1} \]
\[ 1-\frac{x}{x-1}=\frac{(x-1)-x}{x-1}=-\frac{1}{x-1} \]
よって
\[ (\text{与式})=\frac{1}{-\frac{1}{x-1}}=-(x-1)=1-x \]
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